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一、证明题

1． 设函数f 在

上二阶可导,

, 证明存在一点

【答案】f （x ）在x=a和x=b的一阶泰勒公式分别为

t

由此得到

于是

其中

2． 证明:若

【答案】由可推出进一步, 由由设

3． 设正项级数

【答案】令

收敛，证明：级数

则

对上式两边取极限得

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, 使得

或, 并且满足

则数列

的构造, 知

得收敛.

所以

.

收敛, 并求其极限.

为严格单调递増数列. 单调递增且有上界, 知

则有

即

仍收敛，其中

所以级数收敛到

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4． 证明级数

【答案】由微分中值定理, 有

收敛, 并且其和小于1.

从而

又

所以级数

5． 设f 为连续函数, 证明

:

（1）（2）

’则dx=-dt, 于是有

（

2）令由此得

6． 设f

（x ）在

, 则dx=—dt ,

从而

内可微, 且满足不等式

证明:存在一点

, 使得

【答案】由已知的不等式,

. 令

则

由推广的罗尔定理

, 使得

即

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收敛, 并且其和小于1.

【答案】（

1）从所要证明等式的被积函数来看, 应作代换

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7． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

局部保号性:若函数域

内与【答案】设续, 所以存在

从而当当

时,

在点

连续, 而且

. 则函数使得对任意

取

时

任取

使得在其上

即

可见

在

上与

同号且

由上可知存在

因为

在点

处连

在点

的某一邻

同号, 并存在某个正数

则存在r , 使使得当

时, 有

二、解答题

8． 计算三重积分

, 其中是由曲面

与. 对积分

所围的区域.

采用“先二后一”的方

【答案】由于积分区域关于yOz 平面对称, 所以法, 则有

9． 设

为

上的连续递增函数, 则

. 即可.

使

10．在抛物线

【答案】设

哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短.

为抛物线

上的一点, 则过该点的切线斜率为:

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.

【答案】只要证明由于

单调递增, 利用积分第二中值定理, 则存在