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一、证明题

1． 设二元函数f （x , y ）在正方形区域[0, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].

（1）试比较【答案】 （1

）

由y 的任意性可知（2）若显然

，

使

下面证明上面条件为充分条件，

在[0, 1]上连续,

，使

故

2． 证明:定义在对称区间（-1, 1）内的任何函数f （x ）, 必可以表示成偶函数H （x ）与奇函数G （x ）之和的形式, 且这种表示法是唯一的.

【答案】令

则

若还存在偶函数

用-X 代入①式有

由①+②可得

再代入①式可得

②

且容易证明和奇函数

是偶函数,

, 满足

是奇函数. 下证唯一性.

则有

①

与

，

有

的大小并证明之；

成立的（你认为最好的）充分条件.

时于任意的x 都成立，

则

（2）给出并证明使等式

3． 设S 为光滑闭曲面, V 为S 所围的区域, 函数u （x , y , z ）在V 上与S 上具有二阶连续偏导, 函数w （x , y , z ）偏导连续, 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由高斯公式:

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令P=uw, 有

即

（2）由（1）式用

代替u 可得

类似地可以得出:

三式相加, 再由第一、二型曲面积分关系可得

4． 设f 在

内有定义. 证明:若对任何数列

目

.

下面证明

A=B.

作数列

且都相等. 在区间

内二阶可导,

且对

有

将

与

在点作泰勒展开,

有

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且

由题设知如下,

存在. 于是对于

极限都存在, 则所都存在

.

,

且

有这些极限都相等.

【答案】设数列设则必有

极限

5． 证明:若函数

则对

【答案】令有

于是, 对任给的

有

.

由题设的两个子列

于是A=B.由数列的任意性知, 对任何数列

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6． 设级数满足:加括号后级数

符号相同，证明

收敛（m1=0）, 且在同一括号中的

亦收敛. 收敛，所以其中

又因为括号内符号相同，

【答案】因为所以

设故

则

存在. 又对任意的n ，存在k ，使得

又当

存在，即

7． 设

时必有

从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

为E 的直径. 证明:存在知,

对

则存在

使使得

则令

8． 证明:

【答案】因为

所以

得

即

由于E 为闭集. 从而

而

是有界闭集

,

【答案】由

均为有界闭集E 中的点列, 从而有收敛子列

所以

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