2018年贵州师范大学数学与计算机科学学院720数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1．
讨论黎曼函数型.
【答案】（1）先证
在
上无理点都连续. 设无理数
若x 为0, 1或无理数, 总有
若取
在则当
的,
记为
在区间[0, 1]上的不连续点的类
中既约分数的分母不大于n 的仅有有限个,
选其中最接近于
时, 有
（2）再证取无理数列再取有理数列由
上的有理点均为使使
所以的右连续点.
则
的第二类间断点. 设有理数
为
不存在. 即证的第二类间断点.
（3）类似可证1不是（4）可证0是
2． 计算第二型曲面积分
的左连续点.
其中f （x , y , z ）为连续函数, 是平面x －y+z=1在第四卦限部分, 方向取上侧, 【答案】设曲
面
的单位法向量
为
. 由此可得
具体到本例,
因而
,
• . 于是
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,
则
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其中
3． 利用归结原则计算下列极限
:
（1）
【答案】（
1）令
（2）, 则有
由归结原则,
得
（2
）令
, 则
由归结原则
, 得
4． 求函数
的傅里叶级数并讨论其收敛性.
【答案】因为延拓函数为按段光滑的偶函数, 故
是曲面
在xOy 平面的投影.
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所以由收敛定理, 当又因f 延拓后在
5． 应用中值定理估计积分
【答案】由于据中值定理知:存在
时
上连续, 故上式对任
的值.
在
使得
上连续, 均成立.
从而
6． 设
求证:f （x ）在【答案】
t'lP
, 且
.
上一致连续.
推知
. , 使得当,
时, 有
由
又由,
推知使得当时, 有
, 所以f （x
）在
,
上一致连续,
于是
另一方面,
因为函数
使得
这样, 当
若若若或
且
由（1）式得,
, 由（2）式得,
则有
时
, 由（3）式知
, 根据定义, 即得f
（x ）在（-）上一致连续.
7． 求下列曲线在第一象限围成的图像的面积,
【答案】设区域
那么在变换
下, 区域被一一对应地映为
此时有
于是有
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