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一、证明题

1． 设

在点

的某邻域内存在且在点

可微，则有

【答案】应用中值定理有

由

在

处可微知

所以

. 同理由在

处可微得

从而

2． 设f (z ) 是在

⑴数

【答案】

即这里

由比值判别法知

绝对收敛.

⑵绝对收敛.

内的可微函数，且满足：

其中

任取

定义

证明：级

二、解答题

3． 设

【答案】因为

所以函数是连续的.

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讨论函数的连续性和可微性.

因为

所以函数是可微的.

4． 求下列函数微分：

【答案】

5． 计算积分

【答案】内层积分积不出来，不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形(见图)

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图

于是

6． 设

【答案】

7． 写出下列级数的乘积：

(1)

【答案】(1)

级数

得第n 条对角线和

下面考虑n 的奇偶性

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(2) 与级数

在

时均绝对收敛，从而可按对角线相乘，