2017年山东科技大学信息科学与工程学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在有界.
【答案】因为f (x ) 在得
2． (1) 设级
(2) 讨论级数
在X 上一致收敛，求证：级数的一般项
在
上的一致收敛性.
使得
即得
在X 上一致趋于零.
由
可知，
时任意固定的x 收敛. 但
因此根据(1) ，原级数在；x>0上不一致收敛.
(2) 对固定的，
有
在X 上一致趋于零；
于
是
故f (x ) 在R 上有界.
上有界，所以存在M>0, 使得对任意
对于任意
即
有
正
数h 的所有整数倍从小到大依次为：
必存在惟一整数k ，使
I 上有界，则f 在R 上
由于h 是f 的周期，因
而
【答案】(1) 由一致收敛原理，
二、解答题
3． 设二元函数
(1) 试比较
【答案】(1
)
(2)
若
使
在正方形区域与
有
由y 的任意性可知
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上连续. 记
的大小并证明之；
>成立的(你认为最好的) 充分条件.
对于任意的x 都成立，
则
下面证明上面条件为充分条件，显然
(2) 给出并证明使等式
在[0, 1]上连续，使
故
4． 应用比较原则判别下列级数的敛散性：
(1) (3) (5) (7) (9)
【答案】(1) 因(2) 因(3) 因(4) 当(5) 因(6) 因(7) 因(8) 因收敛，所以级数
(9) 因而级数(10) 因为而
收敛，故级数
收敛.
收敛.
时，
而级数而级数而级数而级数 (2) (4)
(6) (8)
(10) 而级数
收敛，故
收敛. . 收敛. 发散.
发敛.
收敛. 发散.
发散.
而级数
收敛，故级数发散，故级数而级数
收敛，故级数
收敛，故级数
. 发散，故级数
发散，故级数(
时) ，故
，而级数
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所以因此
而
收敛，由比较原则，可知级数
收敛.
5． 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性：
【答案】⑴
所以由
.
的极限函数
设
间
则
上不一致收敛.
由
上可积
.
所以
由可积.
6． 设
（2）求【答案】⑴
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可知
在
上连续，可微且可积.
在上不连续，
又
在
在上连续，
从商
在
不连续可得，上不可微，显然在任意有限区
可知
在上连续、可微，在任意有限区间上
（1）证明y 满足方程