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一、证明题

1． 设为使

【答案】

先证

在则存

在

(

使得

对

介

于

上不能恒为正，也不能恒为负. 用反证法，

假设恒有

使

得

设

由泰勒定理得

，

这

与

使

使得

在则存在

这与假设

之间) . 于

是

上的二阶可导函数，若在

上有界，则存在

上有界矛盾. 再用反证法证明原命题. 假设不存在

应用达布定理可知，存在

矛盾，故原命题得证。

2． 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有

【答案】令

则

同理可证

3． 设

为递减正项数列，证明：级数

的部分和为

与

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

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【答案】设级数故

级数为递减的正项数列，

故若又有

故若同.

4． 设函数

【答案】令故由格林公式可得

具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L , 有

则有

收敛，则

也收敛；若

发散，则

也发散. 由上可知两级数的敛散性相

收敛，则

也收敛；若

发散，则

也发散.

二、解答题

5． 求最小实数C ，使得满足

【答案】一方面

另一方面，如果取

则有

而

由此可知，最小实数

6． 应用换元积分法求下列不定积分：

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的连续函数都有

【答案】

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