2017年山东科技大学信息科学与工程学院601数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设即可.
事实上，由f
是
由
由已知条件，在收敛子列
再由
2． 设
在
满足
及f 的连续性，令上可微，且对于任何
到
的映射知，
对每一个
当
相应地存在
时
，
是有界点列. 由致密性定理，
注意到
有
故
使得
记
相应
地
存
显然它是有界闭集.
可知
，
是有界集，所以
可得
是连续映射，若对
中的任何有界闭集并设
欲证，
均有界. 证明：
是闭集.
【答案】任取点列
是闭集，只需证明
求证：对任何正整数n ，
有
其中M 是一个与x 无关的常数.
【答案】由定积分的性质及积分中值定理有
其中
又因为
_在
上可微，所以由微分中值定理可知，存在
使得
因此
证明：
二、解答题
3． 设S
是椭圆面
为点
的上半部分，
点到平面的距离，求
为S 在点P 的切平面
，
【答案】设(X ，Y ，Z ) 为上任意一点，则的方程为
由此易知
由S 的方程
有，
于是
其中
是S 在
平面上的投影.
作极坐标变换容易求出：
4． 计算积分
【答案】因为
所以
而
一致收敛，因此
5． 判别下列积分的收敛性：
【答案】
当
时收敛，
时发散，即当时收敛，
时发散。
所以当
6． 研究函数
【答案】当
时，
当
时，
当x=l时，
当
时，
无定义
.
f （x ）在
在
7． 求极限
处不连续.
上都连续.
在x=-1处f （X ）无定义，从而也不连续
.
的连续性.
时收敛，
时发散.
【答案】用连续性定理来求解. 将离散变量n 改成连续变量，即令
显然，f (x ，y )
在
上连续，由连续性定理，有
8． 计算重积分
其中D 是以
为顶点，面积为A 的三角形.
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