当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：

（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；

（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜. 【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.

（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2，所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.

（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l，2，3，4，则

所以甲得全部赌本的11/16，乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有此n+m-1局中至多赢m —1局，

这共有

种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着：乙在

种等可能的情况，若记

则

所以甲得全部赌本的

乙得全部赌本的

2． 某电工器材厂生产一种保险丝，测量其熔化时间，依通常情况方差为400, 今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得差与通常有无显著差异（取

当

时，查表知

第 2 页，共 23 页

问这天保险丝熔化时间的方

因此拒绝域为

或

，假定熔化时间服从正态分布）？

【答案】本题可归结为关于正态总体方差的双侧检验问题

此处，检验统计量为

该值没有落入拒绝域内，从而在显著性水平与通常无显著差异.

3． 求以下分布的中位数：

（1）区间（a ，b ）上的均匀分布； （2）正态分有（3）对数正态分布【答案】（1）从1（2）记

（3）

记则由（2）知

由此得

，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如

（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间； （2）若已知

求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；

s=35.2176在未知时，的置信水平为95%的置信区间为

查表得，

因而的置信水平为95%的置信区间为

（2）在查表得，（3）此处，

因而

已知时，的置信水平为95%的置信区间为

，因而的置信水平为95%的置信区间为

取

，查表得

，

由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为[24.2239，64.1378].

第 3 页，共 23 页

下可以认为该天保险丝熔化时间的方差

中解得

由

令X=Iny，

则即

可得又记

为Y 的中位数.

为X 的中位数，

4． 已知某种材料的抗压强度下：

（3）求的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）经计算得，

的置信水平为95%的置信区间为

5． 利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在（0.4, 0.6）间的概率至少为0.9. 如何才能更精确地计算这个次数？是多少？

【答案】

均匀硬币正面朝上的概率

, 据题意

选取次数n 应满足

此式等价于

, 利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界

再由不等式

可得粗糙的估计

试求x 使

且：

达到最大.

求P （A ）.

而不要求

之不然. 这里由A ，B ，C 两两独立，且

（1）由P （A ）=P（B ）=P（C ）=x知三项式的最大值在x=0.5达到.

（2）由解得两个解为3/4和1/4，而x=3/4不符题意，所以得x=1/4.

7． 设K 服从（1，6）上的均匀分布，求方程有实根的概率.

【答案】方程

有实根的充要条件是

，因此所求概率为

而K 〜U （l ，6）

8． 一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设

此处

分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值.

现分别在两总体中取一样本

和

设两总体均为正态分布且方差分别为已知值

成立. 可见A ，B ，C 相互独立必导致两两独立，反可得

而

这个二次

即抛均匀硬币250次后可满足要求.

6． 设A ，B ，C 两两独立，且.

（1）如果（2）如果

设

为n 次抛硬币中正面朝上的次数,

则有

【答案】三个事件A ，B ，C 两两独立是指仅成立

设两个样本独立. 试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域. 【答案】设X 为服用原有止痛片后至开始起作用的时间间隔，

第 4 页，共 23 页

为样本，Y 为服用新