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一、计算题

1． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.求此密码被译出的概率.

【答案】记事件

为“第i 个人译出密码”，i=l，2，3，B 为“密码被译出”.则

注：互不相容可简化事件并的概率计算，相互独立可简化事件交的概率计算. 这里为了要利用相互独立性，把事件并在对偶法则下转化为事件交，这一方法以下会经常用到.

2． 每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9?

【答案】设共射击n 次，记事件为“第i 次射击命中目标”，i=l，2，…，n ，则由题设条件知

由此得

两边取对数解得

所以取n=11可满足题设条件.

3． 设随机变量X 与Y 相互独立, 其联合分布列为

表

试求联合分布列中的a , b , c.

【答案】先对联合分布列按行、按列求和, 求出边际分布列如下:

表

由X 与Y 的独立性, 从上表的第2行、第2列知6=（6+4/9）（6+1/9）, 从中解得b=2/9, 再从上表的第2行、第1列知知:

由此得c=1/6.

从中解得a=1/18, 最后由联合分布列的正则性

4． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8，问：

（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.

（2）因

为

而当

5． 设总体密度函数为

【答案】对数密度函数为

将上式对θ求导，得到

二阶导函数为

6． 掷一颗骰子两次，以x ，y 分别表示先后掷出的点数，记

【答案】

所以

7． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率拒绝的概率不超过0.05, 而当案.

【答案】此类检验问题的拒绝域为：受概率

满足如下不等式组

由于批量N=50不太大，因此应该用超几何分布计算接收概率L （p ）:

通过编程搜索可以找到，当n=ll，c=l时，

c ），可以满足要求，于是检验方案为（n ，它表示在抽取11件产品检查其中的不合格品件数>1，

所以当P （AB ）=P（A ）

所以有

时，有P （AB ）达到最小值0.4.

x ＞c ，c ＞0已知，θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.

于是

求

时

时，接受的概率不超过0.1，请你帮助找出适当的检验方

. 因此，本问题归结为找出n 与c , 使得接

则拒受该批产品，否则接受.

8． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作，Y 〜b （3，p ）. 的元件数. 则X 〜b （5，p ）

对X 而言，系统有效的概率为

对Y 而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的P :

即

上述不等式可简化为从而有