2017年天津医科大学应用统计(专业学位)432统计学之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
，试证
：
【答案】因为X 的密度函数为
又因为Y=In X 的可能取值范围为
单调增函数，其反函数为
且
是区间
上的严格
所以Y 的密度函数为
这正是
2． 设
的密度函数. 是来自
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当
时，
【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在成立下，
而犯第二类错误的概率为
这是因为在成立下.
.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即
，或
，查表得：
由此给出
因而凡
最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率
（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为
当时. ，即
检验犯第二类错误的概率为
当
时，
即
才可实现，这一结论在一般场
注：从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小.
3． 设 为独立随机变量序列, 且
证明:
服从大数定律.
相互独立, 且
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
4． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为
其
中明,
【答案】令
服从自由度为2的（1）, 则
为样本的次序统计量. 试证分布
的联合密度为
作变换
【答案】因
合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可
其雅可比（Jacobi ）行列式为合密度我们可以知道
的联合密度为
从而
由该联
是独立同分布的随机变量, 且
这是指数分布就证明了 5 来自正态总体．对称, 且
【答案】记正态分布的样本中位数
的分布函数, 我们知道
,
的容量为
就是
也就是. 这
的样本中位数是证明
的密度函数关于
f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（
的密度函数为
令此变换的雅可比行列式的绝对值于是y 的密度函数为
其中
可得
与
分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质
这表明密度函数与E 6． 设变量序列
是偶函数, 从而g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有
为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.
则
, 试证:随机
【答案】
由此得
倘若
服从大数定律, 则对任意的
有
于是, 当n 充分大时, 有
记
则
, 由此得