2018年北京信息科技大学理学院823概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与即数，
由于
2． 设存在，且N 与
的特征函数为
所以
故
是实的偶函数.
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
则X 与
所以得
有相同的特征函
先证充分性. 若
是实的偶函数，则
又因
关于原点是对称的.
有相同的密度函数，所以X 与
再证必要性，若
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
所以
3． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）
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:
（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
4． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
.
，移项即得结论.
5． （1）设分布函数
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
和
分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差
其中
与
分别为总体的分布函数与密度函数.
时，样本极差
的分布函数.
做变换
其逆变换为
雅可比行列式绝对值为
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的
（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
于是与的联合密度为
的边际密度为
由此可以算得
的分布函数为
（2）对于指数分布
由（1）中结果，有
二、计算题
6． 一辆重型货车去边远山区送货. 修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2, 你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？
【答案】此车在途中因轮胎损坏而发生故障意味着车上的六个轮胎至少有一个发生故障， 为此记事件为“第i 个轮胎发生故障”，其中i=l，2, 表示前面两个轮胎，i=3, 4, 5, 6表示后面四个轮胎，
则
.
又假设车上的六个轮胎工作是独立的，则所求概率为
7． 随机选取9发炮弹，测得炮弹的炮口速度的样本标准差s=llm/s, 若炮弹的炮口速度服从正态分布，求其标准差
的0.95置信上限.
，从而有置信上限为
现
，查表知
，
【答案】在正态分布下，对样本方差有等价地，
故标准差的
故标准差的0.95置信上限为
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