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一、证明题

1． 设

在

上有一阶连续导数，证明存在

使

【答案】令

则

在

上有二阶连续导数. 对

在上式中取

即得

2． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

【答案】不妨设

若

取

同样，若若

有

且满足因为f (x ) 在由于

3． 设

证明

【答案】方法一令 变换的雅可比行列式为

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应用泰勒公式，有

若

若

得证；

取

于是

有

得证；

取

若

如此继续可得闭区间套

且

故有

处连续，故

所以

取满足

于是

于是由闭区间套定理知存在惟一的

所以

方法二因

对内层积分作定积分变换

4． 设

b]上逐点收敛且具有性质：

在[a，

在[a, b]上一致收敛.

上是等度一致连续的，又

上一致收敛. 在有限闭区间在

上连续

，

在

.

在

上等度连续，

如果

对所

有

s

上连续； 使得

当

使得

当

时，

有

且

则(1)

答:(1) 由对

成立；令(2)

由

由

于

在x 处连续

及时，有

于是这些区间的并

构成

的一个开覆盖，即

令

当

对任意时，有

必存在

使得

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则

且5时，有

上逐点收敛，即

用有限覆盖定理证明由

定理，得

【答案】由题设条件，知(Osgood 定理)

设函数列

在

上连续；(2) 上一致收敛于

上等度连续，得

当

取极限得，

对于任意

的

上等度连续，必存

在

时，不等

式由此得

中的某个开区间

于是，当n>N时，这就说明了

5． 设f 在

(c 为常数). 【答案】由题意可知，故

其中

6． 依次取

由

在

为常数.

在

对一切上一致收敛.

成立.

上有任何阶导数，

记且在任何有限区间内

，

试证

在任何有限区间内连续，且

由

积分可得

故

上有定义且在每一点有极限，证明:f (x ) 在[a，b]上有界.

使得

则得到数列

记

【答案】反证法. 若f (x ) 在[a, b]上无上界，则对任意正整数n ，

存在由致密性定理知，存在收敛子列

的选取方法有

处存在极限矛盾. 故f (x ) 在[a, b]上有界.

都是可微的

，

【答案】因为

这与f (x ) 在

7． 己知

证明：

故原式成立.

二、解答题

8． 对下列各函数计算

【答案】（1）

（2）

（3）

因此因此因此

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