2017年福州大学软件学院611数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设f (x ) 在
上可积，则
【答案】先证明事实上，由且
根据有
特别地，有
由f (x ) 在又因为
上可积可知，它在所以对上述，
上有界，即
当
于是，
当
时，有
即
2． 若存在数c ，使得
证明：凡有有界变差的数列是收敛的，反之不一定成立.
【答案】所以数列
收敛. 由柯西收敛准则，对
，当
时有
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在
收敛(即法
，
在
上一致收敛. 关于y —致收敛) 及上一致收敛. 于是
，
关于x 单调(
当
固定)
时
，
有
时，
有
则称数列显然
存在正整数N , 当
时有
有有界变差.
单调递增且有上界，
即
于是对数列
所以数列丨收敛.
它是以0为极限的收敛数列，
反之不一定成立. 例如数列1, 但它不是有有界变差的. 事实上，
而数
列 3． 设
【答案】设由于
4． 1) 设
(1) (2) 若
则
是发散的，又是递增的，所
以不是有界的.
为m 个正数，证明
：
则
因此
证明：
(又问由此等式能否反过来推出
) ；
于
是
2) 应用上题的结论证明下列各题： (1
) (2
) (3
) (4
) (5
) (6
) (7)
若(8)
若
【答案】(1) 因
为
于是当
则则时，有
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所以对于任意
的
存在正整
数
当
时，
有
其中
的
存在正整数
使得当
时，有
又因为所以对上面
取
则当
时，有
故
由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由
有
由1)(1) 的结论可得
再由迫敛性得因此，由迫敛性得2)(1) 因为(2)
令(3)
令
所以
则
如果a=0, 则
综上所述，有
由第1)(2) 题知，
则
由第1(2) 题知，
(4)
令
则
由第1)(2) 题知，
) .
(5)
令
则
由第1)(2) 题知，
因而
且
例如
可得
如果a>0, 那么
但
不收敛.
由平均值不等式
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