2017年曲阜师范大学自动化研究所750数学分析A考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明函数
【答案】令
，所以
为积分下限函数是
2．
设
在
【答案】由’
展开式知
取
对积分得到
从而有
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在因此
上连续.(提示：证明中可利用公式
据
的连续函数，所以在上连续.
上二次连续可微，
且证明
:
其中
代入得到
3． 试确定级数证明你的结论.
【答案】由
的收敛域. 又问：该级数在收敛域内是否一致收敛？是否连续？是否可微？
所以当x>0时级数敛域为
由于
而
所以级数的一般项在敛.
而
因因为敛，所以点
的任意性可知
有
收敛(利用比式判别法) ，
故在
上连续，所以
当
上一致收敛，从而
内连续、可微.
时有
内不一致收敛于0，故级数
使得当在
在时有
上一致收敛.
上连续，从而在点
而
上可微，因此在点
连续.
收可微. 由
内不一致收
收敛，当x<0时发散，当x=0时级数
发散，所以级数的收
二、解答题
4． 如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积。
图
【答案】
椭圆柱面的方程为性质有
解得
于是
设垂直于X 轴的截面面积为
则由相似三角形的
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故所求体积
5． 计算二重积分
其中是双纽线【答案】令
则双纽线方程为
围成的区域.
(如图) :
图
由于区域和被积函数关于x 轴对称，故
6． 计算积分
其中
是关于y 的奇函数，故
作极坐标变换：
则
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【答案】因为积分区域D 关于x 轴对称，而