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一、证明题

1． 设f 在

(c 为常数). 【答案】由题意可知，故

其中

2． 证明：函数

【答案】因为由于当

1时，

极限不存在，因而z (x ，y ) 在点(0, 0) 关于x 的偏导数不存在. 同理可证它关于y 的偏导数也不存在.

3． 设

为常数.

在点(0, 0) 连续但偏导数不存在.

所以函数

在点(0, 0) 连续.

在任何有限区间内连续，且

由

积分可得

故

上有任何阶导数，

记

且在任何有限区间内

，

试证

在上二阶连续可微，对于任何

且

证明:无穷积分【答案】因为有

所以存在

由于

因此

收敛.

所以对任意充分大的正数

存在

有

由泰勒定理，存在可得.

有

所以

当

时，

由于 4． 设，

且

收敛，根据比较原则

，求证：

收敛. 所以收敛.

【答案】改写

5． 求证：

(1

) (2

)

【答案】(1) 令

注意到

(2) 由第(1) 小题得，

于是，对任给定

6． 设函数在

【答案】

设

在

朗日中值定理，得到

其中

7． 用柯西收敛准则证明

:

【答案】当n 适当大时，对任意的自然数p ，有

有

取. 当n>N时，便有

在

所以

上具有二阶导数，且

内的点

内取得最大值. 试证：

并且

在应用拉格

取得最大值，

于是

是的一个极值点.

由于

分别在区间

和

上对

内具有二阶导数，根据费马定理，

因为所以

收敛.

当时，为自然数，都有

由柯西收敛准则，

收敛.

二、解答题

8． 设函数下，方程

并研究例子：

【答案】设

故由教祠(i )

设由于

9． 设

(这个函数在

时不连续) ，试证由含参量积分

所确定的函数在【答案】由于当

时，

所以

它在

上连续，

的图像见图

上连续，并作函数. 因此当

时

的图像.

注意2知，

若

由于

都在R 上连续，且

可确定函数

故方程

不能确定函数

所以

又

故由上面的结论知方程

即存在点

，

满足

就可在

附近确定隐函数

显然

在上连续

.

在区间

内连续，函数

在区间

内连续，而

问在怎样的条件

能确定函数

图