2017年福州大学离散数学研究中心611数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1) 若f (x , y) 在某域G 上对x 连续，关于x 对y —致连续，则f (x ，y ) 在G 上连续； (2) 若f (X ，y ) 在某域G 上对x 连续，对y 满足利普希茨条件，即
其中
在G 上连续.
(1) 任取【答案】当
在点
有
连续. 由(2) 任
取
取
的任意性知f (x , y) 在G 上连续.
由
在
点则
当
取
时
所
以
连续. 由
点连续，于是
在点取但是
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使得
有
为常数，则f (x , y) 在G 上连续；
(3) 若f (x ，y ) 在某域G 上分别对每一变量x 和y 连续，并且对其中一个变量单调，则f (x , y)
由于f (x , y) 关于x 对变量y —致连续，所以
且
连续，从而对上述并使点
时有
当
的邻域全部含在G 内，则当
又f (x ，y ) 关于x 连续，
所以时有
取时，
因此f (x ，y )
在点
连续，所
以
当
则
时
有
当有在
点在
时，由利普希茨条件
得
的任意性知当
连续，故对上述的
则当
时有
在G 上连续.
由f (X ，y ) 对y 连续，从而
当时有
时有
又由f (x ，y ) 对x 连续，
所以
(3) 不妨设f (X ，y ) 关于y 单调. 任取
所以f (x ，y ) 在点
2． 证明级数
【答案】取
则当
连续. 由的任意性知f (x ，y ) 在G 上连续.
存在某正整数N , 对一切
有
时，总有
收敛的充要条件是：任给
由级数时有
收敛，则存在正整数
由已知条件，存在正整数N ，
于是
及任意正整数P 有
由柯西收敛准则知级数
3． 证明下列不等式：
【答案】(1)
所以有
(2)
所以有
4． 设
收敛. 证明
有
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令(1
) (2)
求证：
上可导，且导数只在
(0，1) 上可导，且导数只在
且
处不连续； 处不连续. 听以由连续性定理知.
【答案】(1) 因为又当
时，
因此从而
在上一致收敛. 于是函数
上可导，且
又因为上可导，导数在点处不连续，所以
在(2) 不连续.
5． 设
【答案】因为对于这样的当
故
6． 设
在
上可导，且导数只在点，
故由(1) 知
处不连续.
1) 上可导，在(0，且导数只在点
处
，证明
时
，
所以对任给的
存在
使得当因此
上可微，且对于任何有求证：对任何正整数n ，
有
其中M 是一个与x 无关的常数.
【答案】由定积分的性质及积分中值定理有
其中
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