2017年兰州财经大学统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 如果
且.
有
故当即对任意的
时, 有
有
于是有
从而
成立, 结论得证.
2． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）且从（1）在
则
所以
（2）
（3）
3． 设为一事件域，
若
试证： （1）
试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的
，
【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列
由此得（3）因为（4）因为（5）因为
所以所以所以
为一事件域，所以
其中
故其对立事件
由
由
由（3）（有限交）得
得得
4． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
5． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.
【答案】因为令
则
的逆变换为
, 所以
此变换的雅可比行列式为
所以（U , V ）的联合密度函数为
由此得U=XY的边际密度函数为
又由（1）知
知
所以有
这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.
6． 设
，试证
：
【答案】因为X 的密度函数为
又因为Y=In X 的可能取值范围为
单调增函数，其反函数为
且
是区间
上的严格
所以Y 的密度函数为
这正是的密度函数.
7． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.
【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.
8． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得
即成功概率p 的后验分布为分布族.
故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔