2017年长春师范大学线性代数(同等学力及跨学科加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设n 阶矩阵A ，B
满足
【答案】显然A 与B 的对应A 与B 有对应于
另一方面，
证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；
同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质
综上，A 与B 有公共的特征向量.
2． 用配方法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵：
（1）（2）（3）
【答案】⑴由于f
中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得
令
即
写成矩阵形式：x=Cy，这里
为可逆阵. 在此可逆变换下，f 化为规范形：
（2）由于f 中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得
令
即
写成矩阵形式：x=Cy，这里
为可逆阵. 在此可逆变换下，f 化为规范形：
（3）由于f （x ）中含变量xl 的平方项，故把含xl 的项归并起来，配方可得
令
即
这里为可逆矩阵，
且易求得于是在可逆变换
下，f 化为规范形：
3． 已知
的两个基为到基
的过渡矩阵P.
，
及，，. 求由基
【答案】记矩阵
为3阶可逆阵. 由过渡矩阵定义，
可求得P 如下：
，因与
均为的基，故A 和B 均
从而
4． 求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
（1）
（2）
（3）【答案】⑴
故它的秩为2, 并且它的第1、2行和第1、2列构成最高阶非零子式. （2）
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