2017年伊犁师范学院线性代数(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 写出四阶行列式中含有因子位于第2列和第4列，即
此行列式中含有
2． 设
的项为
和
或
的项. 和
注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2, 故
【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别
问
是不是向量空间? 为什么？
【答案】（1）是向量空间, 理由是
①非空：则有因
故
那么
即
对向量加法不封闭.
②对于向量的加法和数乘封闭. 事实上，
（2）不是向量空间. 事实上，取
3． 举例说明下列各命题是错误的：
（1）若向量组（2）若有不全为零的数则
线性相关，
（3
）若只有当
线性无关，（4
）若
线性相关，
则可由
，
使亦线性相关. 全为零时，
等式亦线性无关.
线性相关
，
线性表示.
成立，
才能成立，
则
亦线性相关，
则有不全为零的数
使
同时成立.
【答案】命题（1）是错误的，反例I 取向量它含有零向量，但
并不能由线性表示.
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，则向量组线性相关，因
命题（2）是错误的，反例：
取
成立，但
命题（3）是错误的，反例：取此时若有和向量组
都线性相关.
线性无关，
也线性无关.
成立，
只有
再取，
则有
，
但向量组
命题（4）是错误的，反例：
取
均线性相关. 但对此两向量组+存在不全为零的数
同时成立，因由上而第一式可得
于是，
4． 说明：xOy
平面上变换
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）⑶（4）
故T 把向量故T 把向量
，故T 把向量向Y 轴投影；
的几何意义，其中
，同理由第二式得
，使
，则向量组和向量组
关于y 轴反射为
关于直线Y=Z反射；
故T 把向量
先关于直线y=x反射，再关于z 轴反射；或者把向量绕原点顺时针方向旋转90.
5． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.
【答案】方法一、
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由定义，知AB 为正交阵.
方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，且
，从而AB 是正交阵.
6． 设n 阶矩阵A ，B
满足
【答案】显然A 与B 的对应A 与B 有对应于
另一方面，
证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；
于是AB 可逆，且有
同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质
综上，A 与B 有公共的特征向量.
7． 设0, 故
8． 设
证明A 的特征值只能取1或2.
是
的特征值. 但是，零矩阵只有特征值
则A=1或A=2.
是非齐次线性方程组AX=B的一个解，
线性无关；
线性无关.
用矩阵A 左乘上式两边，并注意题设条件，得
但
，由上式知
，于是，（1）式成为
因向量组于是
（2）设有关系式
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【答案】设A 是A 的特征值，则
是对应的齐次线性方程组的一个基
础解系，证明
（1）（2）
【答案】（1）设有关系式
是对应齐次方程的基础解系，从而线性无关，
，由定义知
线性无关.