2018年燕山大学理学院817高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
①
（其中A. B. C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩从而可由
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
使
. ，可知
则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
线性表出.
线性相关，故选D.
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
线性相关 线性无关
线性无关
）交于一点的充要条件是（ ）
则A 与B （ ）.
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其中得
因此A 与B 合同. 3． 设均为n 维列向量，A 是
A. 若B. 若C. 若D.
若【答案】A 【解析】
因为当否则有
由上述知因此
4．
设向量组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解
从而
, 故再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性相关，则线性相关，则线性无关，则
线性无关，则
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关，
则下列向量组中，线性无关的是（
）.
线性无关.
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方法2:对向量组C ，由于线性无关，且
因为
所以向量组线性无关.
二、填空题
5． 若
则V 对于通常的加法和数乘，在复数域C 上是____维的，而在实数域R 上是____维的. 【答案】2; 4
【解析】在复数域上令则
此即证可由在实数域上, 令
若
. 此即
所以在实数域R 上，有 6． 设A 为
【答案】6 【解析】因为
7． 设矩阵
则A 的秩为_____ 【答案】【解析】由
3
则
是线性无关的
.
线性表出.
, 其中
在R 上线性关
.
可由
把A 按列分块为
，则
线性表出，
矩阵，=_____.
，其中是A 的第j 列，则
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