2018年浙江工业大学理学院861高等代数考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1． 设
【答案】1 【解析】因为
2． 二次型
【答案】2
【解析】二次型的秩即其矩阵的秩，该二次型矩阵
3． 若二次型
正定，则t 的取值范围是._____ 【答案】
【解析】设f 对应的矩阵为A ，则
它的三个顺序主子式为
当时，即
4． 设矩阵A , 满足
【答案】【解析】因为
故
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，则=_____.
的秩为_______
显然r （A ）=2
时,
为正定二次型-
________
其中E 是单位矩阵，则
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二、分析计算题
5．
求证
【答案】
时，
,
又
所以
6． 用式
【答案】设
由题设，结合余式定理可得
结合余式定理可得
由拉格朗日插值公式可得
7． 设
（1）（2）如果
【答案】 （1
）设因为A 是正定矩阵，所以故
（2）设因为A 和
其中
，则
都是正定矩阵，所以
，且.
故
即
都是n 阶实矩阵，且A 与
是B 的特征值，那么
, .
是
的特征值，
都是正定矩阵，证明:
除
.
的余式依次为
试求用
除
的余
时，显然.
A 、B
均为n 阶方阵.
，其中E 是n 阶单位矩阵
是A 的特征值，则
三、证明题
8． 设
的秩为
是
中的r 个向量，使得
中每个向
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量都可被它们线性表出，证明：
【答案】由题设易知
与
是的一极大线性无关组.
等价. 等价的向量组有相同的秩，故
的秩
也是r ，因而是线性无关的. 再由习题7可得所要的结论 9． 设A ，B 分别为m ×n 与m ×s 矩阵，X 为n ×s 未知矩阵. 证明：矩阵方程AX=B有解（A , B ）且当r （A ）=r（A , B ）=r=n时，AX=B有唯一解；当
【答案】设即若
与有解
则得
即B 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，从而但显然
因此，r （A ）=r（A , B ）
分别为矩阵A 与B 的列向量组.
时有无穷多解.
反之，若r （A ）=r（A , B ）=r则B 的列向量组必是A 的列向量组的线性组合，且以组合系数为列向量所构成的n ×s 矩阵便是AX=B的解.
当
时由于每个
（
是
未知矩阵）的解唯一，从而AX=B的解也唯一；
当时由于每个
10．证明:
【答案】设使
由此得反之设于是
故 11．设
是一对称矩阵，且
. 证明:存在
使
，其中*
从而
。
故
有无穷多解，故AX=B也有无穷多解.
则存在
表示一个级数与A 22相同的矩阵.
【答案】令
，则可证T 满足题中要求，首先有
其中
级数与
相同.
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