2018年浙江理工大学理学院912高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 求
与
的最大公因式：
【答案】（1）用辗转相除法进行计算
所以
2． 计算
【答案】按第一列展开得，得
整理得递推公式
于是
若若
则
则
于是
♦
故
3． 己知线性空间
的线性变换
（1）求W 的一个基
； （2）证明:W
是
的不变子空间；
（3）将看成W 上的线性变换, 求W
的一个基
, 使在该基下的矩阵为对角矩阵. 【答案】（1）易知W 的一个基为
（2）任取
由于
所以W 是的不变子空间. （
3）
经计算知
其中
与线性子空间
所以, 对于在W 上的限制变换,
有
矩阵A 的特征值为属于
矩阵, 故由基变换公式
, 属于（二重）
的线性无关的特征向量为
令可得
,
是对角
的线性无关的特征向量为则
于是
,
在基
4． 计算
T
的矩阵为对角矩阵A.
n 阶行列式
【答案】按第一行展开，得
于是得到递推公式
反复应用递推公式，得
使用递推公式注意以下几个问题：
（1）递推公式不是唯一的，要选择合适的递推公式. （2）总结递推规律. （3）适时终止递推.
5．
设
证明
:
【答案】
是n 维线性空间V 的一组基，A 是一
的维数等于A 的秩.
是V 的基，则有线性空间的下列同构
,
上面Z 是在基
下的坐标作成的列向量. 在这同构对应下，线性组合对应成线性
在基
下的坐标列向量是
组合，线性无关对应成线性无关. 设向量组
矩阵，,
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