2017年湖北师范大学工程数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 验证明：与向量线性空间.
【答案】事实上
与
均是
中与向量
不平行的向量，但它们的和
平
不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成
行于即该集合对于向量的加法不封闭，故不构成向量空间.
2． 设n 阶矩阵A ，B
满足
【答案】显然A 与B 的对应A 与B 有对应于
另一方面，
证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；
同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质
综上，A 与B 有公共的特征向量.
3． 问取何值时，齐次线性方程组
【答案】若方程组有非零解，它的系数行列式
D=0
有非零解？
故当
或
或
并且不难验证：
当
时
，
时方程组有非零解.
当
时
，
时
，
均是该方程组的非零解. 所以当
4．
设
求X.
【答案】AX=2X+A得（A-2E ）X=A.欲解此方程，需要①判断A-2E 为可逆矩阵；②进一步
-1
求X=（A-2E ）A. 这两件事可由（A-2E , A ）的行最简形一起解决
.
上述结果表明
故A-2E 可逆，且
5． 解下列矩阵方程：
⑴
（2）（3）（4）
【答案】（1）因矩阵边，得
的行列式=1, 不为零，故它可逆，从而用它的逆矩阵左乘方程两
（2）记矩阵方程为
因
故A 可逆，用又，
于是
右乘方程的两边得
（3
）记因
故A ，B 均可逆. 依次用
则矩阵方程可写为
左乘和右乘方程两边得
（4）因矩阵
和的行列式都是-1, 故均是可逆阵，并且
故得
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