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一、计算题

1． 在R 中取两个基

（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； （2）求向量

【答案】（1）显然有

在后一个基下的坐标；

（3）求在两个基下有相同坐标的向量

所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基

下的坐标为

则由坐标变换公式，有

（3）设向量Y

在两个基下有相同的坐标

为Y ，则

，

由坐标变换公式并仍记坐标向量

即（P-E ）Y=0.易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩R （P-E ）=3,

从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系. 故所求向量为k 为任意常

数.

2． 设矩阵程Ax=b的通解.

其中线性无关，，向量

线性无关，故

，求方

【答案】显然，这是一个四元方程. 先决定系数矩阵A 的秩. 因又能由

线性表示

线性相关

线性相关（部分相关则整体相关）

综合上面两个不等式，有R （A ）=3, 从而原方程的基础解系所含向量个数为4-3=1.进一步，

是方程Ax=0的解

是它的基础解系，

又

是方程Ax=b的解.

于是由非齐次线性方程解的结构，原方程的通解为

3． （1）设

（2）设

求

求

【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵 ⑴由

求得A 的特征值为对应

解方程（A-E ）x=0，由

得单位特征向量

对应

解方程（A-5E ）x=0，由

得单位特征向量令

则P 是正交阵，且有

（2）这是求矩阵A 的多项式的问题.A 的特征多项式

于是A 的特征值

因为A 是对称阵，则存在正交阵也即

其中

这样，只需计算出

即对应

解方程（A+E）x=0，由

得单位特征向量

代入（1）式，即求得

4． n 阶对称阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个以A 表示V 中的任一元素，变换换.

【答案】

由变换T 的定义，有

. 因此

，即T 是v 中的变换. 又

维线性空间. 给出卵阶可逆矩阵P ，

的单位特征向量，代入上式即得

使

并且Q 的列向量是对应特征值的单位特征向量，i=l，2, 3. 从而有

称为合同变换. 试证明合同变换T 是V 中的线性变

由线性变换的定义，知T 是y 中的线性变换.