2016年天津理工大学理学院高等数学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 把半径为R 的一圆形铁皮，自中心处剪去中心角为а的一扇形后围成一无底圆锥。试将这圆锥的体积表为а的函数。
【答案】设围成的圆锥底半径为r ，高为h ，则按题意（图）有
图
故
圆锥体积
2． 测得一块三角形土地的两边边长分别为m 和m ，（63士0.1）（78士0.1）这两边的夹角为试求三角形面积的近似值，并求其绝对误差和相对误差.
【答案】设三角形的两边长分别为a 和b ，它们的夹角为
使得
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.
，则三角形的面积为
当a=63，b=78，
时，三角形面积的近似值为
绝对误差为
相对误差为
3． 设a>1, 最小值。
【答案】由考察函数
, 得惟一驻点
, 在a>1时的最小值。令
得惟一驻点,
, 当
,
；当
时,
, 因此
为极小值, 也是
。
在
内的驻点为x （a ）。问a 为何值时, x （a ）最小? 并求出
最小值。
4． 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差:
【答案】（1）因为
,
其中介于0, x 之间, 故
误差
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介于0与
之间, 即
（2）己知
介于0与
注:利用
, 可得误差
5． 求下列微分方程组满足所给初始条件的特解：
之间, 故
, 因此
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