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一、证明题

1． 证明:若f 在[a, b]上可积, F 在[a, b]上连续, 且除有限个点外有

【答案】对[a, b]作分割个点为部分分

点, 在每个小区

间

,

使

于是

因为f 在[a, b]上可积, 所以令

2． 证明:闭区间

【答案】设:设

, 不妨设

,

有

本身.

中有无穷多个实数, 故a 是

则

故的任意邻域内都含有设.

故综上所述,

3． 设f , g :

（1）（2）

【答案】（1）因为当故（2）因为

时, 有若

则. 所以对

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, 则有

, 使其包含等式F’（x ）=f（x ）不成立的有限

上对F （x ）使用拉格朗日中值定理, 则分别存

在

的全体聚点的集合是的全体聚点的集合是M.

则

由实数集的稠密性知,

集合的一个聚点.

设

, 不妨设

的一个聚点. 同理, b

也是

中的无穷多个点, 故为

,

则

的一个聚点. 总之

.

即不是本身.

的聚点,

即

,

令

, 即闭区间

,

的全体聚点的集合是

, 证明:

, 且当b = 0时可逆;

等价于

. 利用不等式, 有

这表明

, 当

, 即b=0时可逆.

时, 有

所以

,

.

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即

故

4． 设函数f 定义在

（1）（2）【答案】（1）（2）

（3）由（1）、（2）得数,

是奇函数. 故

于是

可表示为一个奇函数与一个偶函数之和.

.

上, 证明:

为偶函数; 为奇函数;

的定义域关于原点都是对称的.

故. 故

为为

上的偶函数. 上的奇函数. 而

是偶函

（3） f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.

二、计算题

5．

讨论下列函数在

（1）（2）（3）

【答案】⑴当x>0时

当

时.

因此（2）当当（3）当

时, 时, 不存在.

时,

故故对

由

因此得

不存在. 取

时的极限或左、右极限:

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当当取

6． 设

时

时,

则

即对于任给的并且当

. 由时,

得即

可知

求:（1）（2）（3）【答案】

同理（1）将（2）（3）由于

7． 试问函数

,

代入可得

, 所以

.

在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论, 为什么?

, 所以, 柯西中值定理的第3个条件（不同时为零）得

【答案】显然, f （x ）和g （x ）在区间[-1, 1]上连续, 在区间（-1, 1）内可导,

不到满足, 不能应用柯西中值定理得到相应的结论.

8． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？

【答案】设（1）若

为f （x ）在区间上的第一类间断点, 则分两种情况讨论.

内由拉格朗日中值定理有

这与

为可去间断点是矛盾的, 故F （x ）不存在.

为跳跃间断点.

成立. 而

这与

为跳跃间断点矛盾, 故原函数仍不存在.

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为可去间断点.

, 在和x 之间. 而

反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则在

（2）若

反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则亦有