2018年合肥工业大学数学学院716数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）在（a , b ）内可导
,
使得
且
【答案】取y>0足够大, 使得
则有
再由拉格朗日定理,
使得
联合（1）式与（2）式, 即得
, 且
2． 设函数f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且
求证:如果
严格单调增加, 则
,
和
都严格单调增加. 【答案】
不妨设
定理, 存在
使得
又因为
严格单调增加, 所以
从而
从而
严格单调増加. 同理可证
单调增加.
（否则用
分别代替f （x ）, g （x ））, 根据柯西中值
’, 求证:
,
二、解答题
3． 设
（1）求证:
,
;
.
（2）f （r ）是什么函数时, 【答案】（1）令
则
同理
所以
（2）
要使
只要
所以
（c 为任意常数）时
4． 求下列函数在指定点处的泰勒公式:
（1）（2）（3）（4）... 【答案】（1）
在点（0, 0）（到二阶为止）；
在点（1，1）（到三阶为止）；
在点（0, 0）;
在点（1，﹣2）.
所以
其中
（2）
所以
其中
（3）由于
所以
（4）