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一、分析计算题

1． 设A 是n 级实矩阵, 证明:存在正交矩阵T 使项式的根全是实的.

【答案】必要性. 设有正交矩阵T 使

为三角矩阵

为三角矩阵的充分必要条件是A 的特征多

其中

都是实数.

充分性. 用数学归纳法证明. 当

时结论显然成立. 假设结论对以

都是实数, 而A

与有相同的特征多项式.

它的根就是

级实矩阵成立.

取一个根

求出相应的特征向量

如果n 级实矩阵的特征多项式的根全是实数:

为第1列, 作一个正交矩阵则

是一个

设, 存在正交矩阵

级实矩阵, 它的特征多项式的根是使

都是实数. 因此根据数学归纳假

为三角矩阵. 令

则T 为正交矩阵, 且

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为上三角矩阵.

2．

设

是一秩为n 的二次型

，证明:存在

，将

的一个

变成标准形，即

维子空间

（其中

s

为符号差数）, 使对任一

【答案】

设经可逆线性替换

不妨设则下列向量集合

构成中一个子空间，

其维数为p. 任意向量

代入作但

，故有

，

则

中任一Z 代入.

是同构对应, 故

也是P

维的. 而

的符号差

这就证明了题目中的结论. 3． 设

，故有

中有

9

由于对应

A 为n 阶方阵为A 的行列式

.

E 为

n 阶单位矩阵，为A 的伴随矩

阵，

（1）试证:

（2）如A 为非奇异，

试证（3）试证:

； 的秩也为n ;

;

（4）如A 的秩为n ，试证: （5）如A 为非奇异，试证:

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（6）如A 为非奇异，试证；【答案】（1）设

则

由于因此

（2） 仿（1）还可证由定义得

（3）设子式（

再设

那么

为行列

中划去第j 行和第i 列的代数余

由此即证（4）若秩即秩（5）因为

由上面②式两边取逆可得

另一方面②式中，用

换A 得

由③，④即证（6）证明对一切事实上，由于因此（i ）当秩

时

（不一定A 非奇异）都有

A 可逆，用

左乘①式两边可得

⑥

在⑥式中用A 换得

所以

阶行列式），其中每行提出公因子a 后，可得

那么由上面①式有

所