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一、选择题

1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E. 2． 设

则

为（ ）.

则3条直线

①

（其中A. B. C. 秩D.

线性相关，

【答案】D 【解析】令其中

秩由秩从而可由

. ，可知线性相关 线性无关

）交于一点的充要条件是（ ）

线性无关 则方程组①可改写为

②

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

方程组①有惟一解

方程组②有惟一解

可知1

线性相关，即

可由

线性表出，

线性表出. 线性相关，故选D.

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3． 设

则由基

A.

是3维向量空间

到基

的一组基,

的过渡矩阵为（ ）.

B.

C.

D. 【答案】A

4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

A. B.

C.

不一定是线性变换，比如不是惟一的.

5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.

【答案】C 【解析】而

. 则

也不是线性变换，比如给

,

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B

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二、分析计算题

6． 设A 为数域F 上的

矩阵，其秩为r ，试求满足下式的所有矩阵X （给出公式）：

【答案】因为

所以存在m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q , 使

首先，如

即

则有

令这里B 为r 阶方阵.

则式等价于

则

所以

其次，由式

直接验证可知

所以，满足的所有解为

7． （1）设

试求

（2）设由下面矩阵级数来定义:

如果

试证:

【答案】（1）设

为A 的特征多项式, 则

将

代入①得

解得