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一、证明题

1． 证明：若

【答案】

2． 证明公式：

这里数.

【答案】设S 为球面

则有

考虑新坐标系

它与原坐标系

共原点，

且

在新坐标系

中，

则

3． 证明:

【答案】(1) 由

的递减性，有

即

从而有

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存在，则

在时为连续函

平面为坐标系的平面

，

轴过原点且垂直于该平面，于是有

这里的S 仍记为中心在原点的单位球面，将S 表示为：

从而

依次相加得

由左边不等式，得

由右边不等式，得

综合两式有

(2) 由(1) 有

而

于是由迫敛性定理有

4． 证明：(1) 设在

(2) 设在【答案】(1) 设因为(2) 把函数其中

线段方程组的系数矩阵为A ，则

上可导，若上n 阶可导，若

和

都存在，则都存在，则

由拉格朗日中值定理得

都存在且相等，所以有

在点x 处展开为把

故

阶泰勒公式得

看作未知数，解上述线性方程组. 设这个

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由范德蒙行列式的求值公式知

，

的线性组合. 由存在(其

中

根据(1) 的结论，

由

于是

，

存在可得

于

是

可以表示

为

存

在

的存在性可

知

二、解答题

5． 设

（1）若在某（2）证明若

内有则在某

内有

保不等式性只能从内

所

以即

同时，由于取

6． 证明施瓦茨不等式：若

和

在

上可积，则

【答案】

因为

所以

若

则即

故

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问是否必有

推出

例如，

取

为什么？

【答案】（1

）不一定有

则在0的任一空心邻域

（2）

令

时，有

因

为

但

由

于

所以存

在

使得

当

所以存在

，

则当

使得当时

，

时，有

即在空心

邻域

即

内

有

即

等式成立；若上式是关于t 的二次三项式，且非负，

于是有判别式