2017年南昌大学线性代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知线性变换
求从变量【答案】记系数矩阵. 因性变换的矩阵形式为
又，
到变量
，
的线性变换.
，则线性变换的矩阵形式为x=Ay，其中A 为它的
故A 是可逆阵，于是从变量
到变量
的线
于是即
2． 设n 阶矩阵A ，B
满足
【答案】显然A 与B 的对应A 与B 有对应于
另一方面，
证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；
同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质
综上，A 与B 有公共的特征向量.
3． 设A 为n 阶矩阵，
证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A 的特征值是特征多项式
从而A 与
的特征值也相同.
4． 设n 阶矩阵A 与S 阶矩阵B 都可逆，求
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
【答案】（1）因A 和B 均可逆，作分块阵由分块矩阵乘法规则，
于是⑵求
可逆，且
的逆阵，就是求n+s阶方阵x ，使
为此，根据原矩阵的分块情况，对x 作一样的分块，其中
把上式代入（1）式得到
比较上式两端两个矩阵，有
于是得
是未知矩阵（为明确起见，它们依次是
. 矩阵）
5． 已知向量组A
:
【答案】记矩阵因A 组与B 组等价
B ：
证明A 组与B 组等价，
故求矩阵（B ，A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩
.
即知R （B ）=R（B ，A ）=2, 且，因此，向量组A 与B 等价.
6． 证明:
（1）
又
与不成比例，故R （A ）=2.
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】
（2）将左式按第1列拆开得