2017年广东工业大学量子力学基础(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 已知厄米算符. （1）在A 表象中算符
满足
的矩阵表示。
且
求：
（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，
在A 表象中算符的矩阵是
：设在A 表象中算符
的矩阵是由于
所以：
则有：
所以：
则有：令
其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：
（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：
α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对
有：
对
有：
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所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，
利用
得：
由于是厄米算符，
即
则有：
则可得：
所以，在B 表象中算符的本征值是
，本征函数为：
和-（3）类似地，在A 表象中算符的本征值是
本征函数为：
从A 表象到B 表象的么正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：
2． 给定
方向的单位矢量：
计算在该态上测量
所得的可能测量值及相应几率。
而为Pauli 矩阵算符，定义算符（1）计算在（2）设在
为
【答案】（1）
表象中：
表象中的本征态：
的本征值和本征函数。
设
本征值为
本征函数为
则:
解得：当
时，
并利用归一化条件可以取
当（2）设
时，并利用归一化条件，可以取
已知
因此测量
可能的测量值为
其中结果为1的
概率为：
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结果为-1的概率为：
3． 设限制在边长为L 的立方体中的单粒子的本征能量与本征波函数是已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简并的. 具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为
第1激发态的本征能量与轨道波函数分别为
第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为且前三个单粒子能级是等间隔的.
设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L 的立方体中. 计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.
【答案】题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论： 由题意可知（1）粒子为费米子
此时粒子应该遵守泡利不相容原理，每个波函数最多容下两个粒子. 体系最低能量：对应波函数有
其简并度为6. 体系第一激发态能量（2）粒子为玻色子
此时粒子不受泡利不相容原理约束， 体系最低能量：
其简并度为1.
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其简并度为：3×3=9.
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