2017年大连理工大学物理学综合之量子力学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：
【答案】（1） r 的平均值即
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级
和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理
（为势能关于r 的幂次）有动能平均值
其中玻尔半径
】
求：
而氢原子基态能量为
故
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并
度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.
2． 设是方向的单位矢量，在表象中
，
（1）计算（2）计算
并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。 的本征态
试证该态与的方向无关，即由不同得到
（3
）设两电子自旋态为的态最多相差相因子。 【答案】⑴
（2）设的本征值为，本征矢为
则:
解久期方程将
，可得：
分别代入本征方程，得到与对应的本征矢为：
与对应的本征矢为：
表示为：
（3）利用矩阵直积的知识，可将
因此，对任意
3． 在
倍。得证
得到的与态
方向投影算符
的本征值和相应的本征态。
只相差
表象中，
求自旋算符在
表象中的矩阵表示为：
【答案】在
则
的本征方程为：
a 、b 不全为零的条件是久期方程：
解得：
故的本征值为：时的本征函数为：
时的本征函数为：
将本征值代入①式，可得：
4． 考虑自旋为的系统。 （1）试在
表象中求算符
的本征值及归一化的本征态。其中
是角动量算符，
而4、5为实常数。
（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。 【答案】（1）设设本征值为
有
则在
设
解得本征态为：
（2）在
表象中，
的本征态为
故发现
的概率为：
5． 设t=0
时刻氢原子处于
子哈密顿算符的正交归一化本征波函数. 求：（1） t=0时刻，体系能量（2）t=0时刻，体系角动量平方（4）
时刻，
体系所处的状态
的平均值. 的平均值.
故t=0时，体系能量平均值为
表象中
为归一化的本征态，
则由本征方程
状态，其中是氢原
（3）t=0时刻，体系角动量x 分量的平均值. 【答案】（1）由题意可知n=2，
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