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一、计算题

1． 两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.

【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为

（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为

对应能量为

.

（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体系能量最低的函波数是

对应能量为

.

（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称的. 自旋已知

对应的本征函数有4个：

是交换反对称的，要配对称的空间波函数；

是交换对称的，要配反对称

对应能量为

.

2． 在

表象中，求

是

方向的单位矢。

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的空间波函数. 所以体系能量最低的态对应的波函数是

的本征值和本征态，这里，

【答案】

本征方程为：

即：

由此得：即：

有非零解的条件是：由此得：可求得与

对应的本征矢为：

与

对应的本征矢为：

3． 空间中有一势场射）。 （1）写出

它在时趋于零. 一质量为m 的自由粒子被此势场散射（弹性散

时，被散射粒子的渐近波函数

的表达式；如果已知散

（2

）从被散射粒子的渐近波函数射振幅

求微分散射截面

读出散射振幅

【答案】（1）该渐进波函数为

其中

令

为径向波函数，则有

另外

时，

上式即

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解得而

时，时，

微分散射截面

入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，如果粒子能量

（1）写出波动方程式并求解； （2）求透射系数；

（3）求反射系数并求与透射系数之和. 【答案】（1）粒子波动方程为

令

则方程的解为

其中第一部分为入射波，第二部分为反射波

.

此即透射波函数.

由波函数连续及波函数导数连续有

试

而当x ＞0时

，

故所求为

（2）散射振幅即，

4． 设粒子从

解得

则波函数为其中

（2）由概率流密度公式入射波函数概率流密度为

：

可知

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