2017年福州大学量子力学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：
由于动量的本征函数为
故哈密顿算符的矩阵元为：
2． 设
为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，
某态表示为
在该态下计算（结果应尽量化简）：
（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）
内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿
的几率。
为总角动量，计算在该态下的平均值。
在薄球壳
内找到粒子的概率
【答案】（1）由题意可得：为：
（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：
故：
已知在本征态表象下因此有：
（3）在下的平均值为：
3． 已知厄米算符. （1）在A 表象中算符
满足
的矩阵表示。
且求：
（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，
在A 表象中算符的矩阵是
：设在A 表象中算符
的矩阵是由于
所以：
则有：
所以：
则有：令
其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：
（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：
α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对
有：
对
有：
所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，
利用
得：
由于是厄米算符，
即
则有：
则可得：
所以，在B 表象中算符的本征值是
，本征函数为：
和-（3）类似地，在A 表象中算符的本征值是
本征函数为：
从A 表象到B 表象的么正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：
4． 某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种
：
（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋
的全同粒子（例如电子）。
【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。
有如下六种：
（2）
单粒子态共有如下六种：
任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如：
体系态共有或者，
从
种，即十五种。
三种轨道态任取两个，则可以构成一种轨道对称
态
及一种反对称态
前者应与自旋单态
试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
相乘，而构成体系反对称
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