2017年哈尔滨师范大学数学科学学院843概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设总体二阶矩存在,
是样本, 证明
则
由
因而
所以
2． 同时掷5枚骰子，试证明：
（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）
2枚组成“一对”，共有以
（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各
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与的相关系数为
【答案】不妨设总体的方差为
由于,
个样本点，这是分母，以下分别求之.
（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取
种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所
有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有
种可能，所以所求概率为
种分法，
（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以
（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得
（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以
3． 若
【答案】因为
证明：
所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得
结论得证.
4． 设正态总体的方差
为已知值，均值只能取或
两值之一，为总体的容量n 的
则检验犯第二类错误的概率
为
从而在并且要求
给定时，有
样本均值. 考虑如下柃验问题
若检验拒绝域取
为
（1）试验证：（3）当
【答案】（1）由于
（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？
时，样本容量n 至少应为多少？
故检验犯第二类错误的概率为
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这给出
也即
从而在
（2）若n 固定，当减小时，而导致增大.
同理可知：当减小时增大.
这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.
（3）由
查表可得
于是
将
代入，有
即n 至少应为468.
5． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
6． [1]设间为
[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：
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给定时，有
就变大，由为常量可知就变小，从
是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似置信区