2018年解放军信息工程大学数学601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 若f （x ）在[a, b]上连续, 且
则在（a , b ）内至少有一点使得【答案】不妨设
, 即
由极限的局部保号性知, 从而f （x ）k ;
当取
根据连续函数介值性定理, 对 2． 求
.
时有, 则
, 当
. 时有
, 从而f （X ） 因为f （X ）在 , 使得 上连续, . , , 【答案】由分部积分可得 令 则 , 所以 故得 3． 讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上的一致收敛性: （l ）（2）（3）（4）（5）（6） 【答案】（1）设 第 2 页，共 25 页 , 则 故 时, 所以对任意 取 . 当n>N时, 对任意的. 由柯西准则知, 原级数在[﹣1, 1]上一致收敛 . 或因为数在 在[﹣ 1, 1]上一致收敛 . （ 2） 设 上不一致收敛. （3 ）设从而部分和数列 所以 故原级数在（4）设设递减, 而 故 在[﹣1, 0]上一致收敛. （ 5）设 上一致有界. 又对任意 （6）对任意的故 第 3 页， 共 25 页 . 及, 总有 而级数 取 则 则 且 收敛, 从而级 , 所以 内不一致收敛. , 故只需考虑级数 则 在 上的一致收敛性. 且对任意 均单调 由狄利克雷判别法知, 在 [0, 1]上一致收敛, 从而原级数 的部分和数列在（﹣1, 1） , 故 则 均是单调的, 且 由狄利克雷判别法知原级数一致收敛. , 取 , 则 所以原级数在 4． 计算近似值 : （1）（2） 【答案】（1）设 根据 则 因而 上不一致收敛. （2）设 二、证明题 5． 己知 在 上二阶连续可导, 证明: . 【答案】因为 连续, 所以 可被取到, 不妨设 由拉格朗日中值定理得 又因为 所以 即 第 4 页，共 25 页