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一、证明题

1． 证明:函数

【答案】因为由于当

时,

极限不存在, 因而z （x , y ）在点（0, 0）关于x 的偏导数不存在. 同理可证它关于y 的偏导数也不存在. 2． 设

【答案】由上确界定义, 对

证明:存在

使使

又由

由迫敛性得

3． 设

, 证明:

【答案】原不等式等价于

取的凸函数. 若记

即

亦即

4． 证明:

【答案】设

在R 上严格增.

则

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在点（0, 0）连续但偏导数不存在.

所以函数

在点（0, 0）连续.

成立

, 则由

, 由凸函数的性质

f x ）可知, （是上

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即

5．

（1）（2

）

【答案】（

1）利用拉格朗日中值定理

,

存在

求证:

使得

（2）设所以

故有

6． 设曲线

证明

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故

在上严格增

.

, 则有

结论得证.

的周长和所围成的面积分别为L 和S , 还令.

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【答案】由对称性知

7． 证明

在

上一致连续.

, 由, 任取

,

且

在

, 设

, 则有

由

故f （x ）在

8． 证明下列命题:

（1）若f （x ）在[a, b]上连续增,

则F （x ）为[a, b]上的增函数. （2）若f （x ）在

上连续, 且

, 则

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【答案】（1）证法一:

定理知, f （x ）在[0, 1]上一致连续. 对

对任给的知, f （x ）在

（2）证法二:设

,

可取

,

只要

在[0, 1]上连续, 据一致连续, 有

,

就有

上一致连续.

由定义

上一致连续, 综上, 可知

, 得于是, 取上一致连续.

, 则当

时, 有