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一、证明题

1．

设列.

【答案】因为取M=l, 则

是无界的, 所以对, 使得

则,

则

因此

取N=l, 则

;

, 使得

, 使得

不是无穷大,

所以

, 使得, 使得

, 由致密性定理知,

中存在收敛子列.

,

, 对任意正整N

,

,

使得

, 使得

是一个无界数列, 但非无穷大量. 证明:存在两个子列, 一个是无穷大量, 另一个是收敛子

为无穷大量.

因数列

, 使得.

,

则则

于是得一有界子列

2． 证明:当

【答案】因为

时

所以

3． 设x=x（y , z ）, y=y（z , x ）, z=z（x , y ）为由方程F （x , y , z ） =0所确定的隐函数. 证明:

.

【答案】由隐函数定理知

所以得

4． 设f , g 和h 为增函数, 满足

【答案】由于是

5． 证明以下数列发散:

（1）（2）（3）

的偶数项发散.

证明:

和f , g , h均为增函数可得

【答案】（1）, 若一个数列收敛于a , 则它的任何子列也收敛于a , 数列组成的子列数列

发散. （3）令

则

于是

6． 证明级数

【答案】“”

:取

收敛的充要条件是:任给

, 由级数

, 存在某正整数N , 对一切

n>N时

, 总有

收敛, 则存在正整数N

1,

, 则当n>N时有

, 由已知条件, 存在正整数N ,

于是

及任意正整数P 有

有

有

数列

的两个子列的极限不相等, 故数列

收敛于

1,

而奇数项组成的子列

的第2k 项为

收敛于1, 从而

（2）收敛数列必有界. 而数列

于是这个数列是无界的, 从而

发散.

由柯西收敛准则知级数

7． 设

,

其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分不存在而两个累

次积分存在.

【答案】因为在正方形的任何部分内, 函数f 的振幅等于1. 所以二重积分不存在. 对固定的y , 若y 为无理数, 则函数f （x , y ）恒为零. 若

y 为有理数, 则函数仅有有限个异于0的值, 因此

所以累次积分存在且

同理, 累次积分 8．

设

b]上绝对且一致收敛.

【答案】因为又由

与

是[a, b]上的单调函数, 故对任意

均绝对收敛,

得

收敛, 从而

在[a

, b]上一致

收敛

, 即在[a, b]上绝对且一致收敛.

9． 证明:函数（a , b 为常数）满足拉普拉斯方程:

【答案】因为

所以

10．设正项级

【答案】因为进而由比较原则得

收敛.

收敛，证明级数

也收敛. ，义由已知碍

及

收敛，所以

收敛，

是[a, b]

上的单调函数, 证明:若

与

都绝对收敛, 则

在[a,

,

收敛.

二、计算题

11．求曲线

【答案】

上曲率最大的点.