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一、证明题

1． 证明定理g （x ）满足:

（i ）

（ii ）f （x ）, g （x ）在（iii ）

. 的某邻域

或

内可导. 且）, 则

【答案】作变换

, 则

时.

, 于是

由于

,

在

内满足定理的条件, 所以

故

2． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使

[2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数

使得

为n 个正数. 证明在区间[0, 1]

；

（A 可为实数, 也可为

,

情形时的洛必达法则. 要证的命题是:若函数f （x ）和

.. ,

【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为

9

=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设

, 则有

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, 使.

由拉格朗日中值定理,

时, 有

,

使

[2]用上例的思路来证明之. 令

以及

显然可以求得一点又可求得一点

使得

在每一个小区间即

亦即

将上式对i 从1到

n 求和, 可得

3． 证明:

（1）无穷积分（2）无穷积分【答案】利用级数法. （1）原积分

而

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和, 使

, 取, 取

;

.

当

于是,

总存在

当f （a ）>f（b ）时, 有

. 取

使使

. 再在. 总之, 我们有

在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理, 上对f （x ）应用介值定理

,

.

, 使得

. 如此下去

, 可以求出

上, 对f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在

发散; 收敛.

当

时有

故

由

发散

, 可知

发散, 从而原积分发散.

（2）类似于（1）, 有原积分而

当

时利用不等式

, 有

9

故

由

4． 设u n （x ）是[a, b]上非负连续函数, [a, b]上一定达到最小值.

【答案】记设

列, 仍记为{x

k }, 不妨设

下证:u （x 0） =A. 反证法 若不然,

则由

, 使知,

, 使

, 当

由于S （递增, 故更有n x ）这样

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收敛, 可知收敛. 同理可证收敛, 从而收敛. 由此可知, 原积分收敛.

在[a, b]上点态收敛于u （

x ）.

证明:u （

x ）在

, 则S n （x ）递增趋向于u （x ）, 且

则存在点列

且

, 使 .

时, 有

.

存在收敛子

. 由致密性定理知,

由S n （x ）在点x 0处的连续性知,

. 于是存在适当大的k , 使,