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一、证明题

1． 证明:

（1）若f 为凸函数,

为非负实数, 则

为凸函数； 上凸増函数, 则

为I 上凸函数.

和任

（2）若f , g 均为凸函数, 则f+g为凸函数； （3）若f 为区间I 上凸函数, g 为意.

总有

两边同乘非负实数, 得到

即

故有

两式相加得到

即

故f+g为凸函数.

（3）由凸函数的定义知, 对于任意因为g 为

上的增函数, 所以

又因为g 为凸函数, 所以

由这两个式子可得

故

为I 上的凸函数.

,

有

为凸函数.

和任意

总

（2）设f , g 均为区间I 上的凸函数, 由凸函数的定义知, 对任意

【答案】（1）设f 为定义在区间I 上的凸函数, 由凸函数的定义知,

对任意

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2． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的存在使得当从而

，因为

在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

收敛，所以从而

，

由于f （x

）在[0, 1]上连续，所以f （x ）在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在时，

由于

收敛，故该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛.

3． 证明下列数列极限存在并求其值:

（1）设（2）设（3）时成立

,

则再证设解得

或递增,

在等式

因为

由数学归纳法知

. 因此两边取极限得

, 由保不等式性可知

&

有上界2.

单调递增. 根据单调有界定理, 极限

即

存在

.

有上界2. 当

时,

显然成立, 假设

【答案】（1）先用数学归纳法证数列

（2）首先证明数列是单调的.

所以数列再证明数列

要满足两个条件:①可猜想数列

有上界是递増的.

是有上界的. 先猜想

②

即, 当

, 再用数学归纳法来证明. 为此M （M 为某个正整数）

由于

时, 显然

的根为

因此,

假设n=k时成立, 则n=k+l时,

即因为

有上界. 由单调有界定理知, 数列

解得因此

所以

的极限存在. 设

其中

时,

, 对

两边取极限得

（3）设M 是一个大于c 的正整数, 即M>c, 则当

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由

由迫敛性得

4． 设f , g :

（1

）（2）

可知

因此

,

, 且当b = 0时可逆;

等价于

, 证明:

【答案】（1）因为当故

（2）因为

时,

有若

所以

.

利用不等式, 有

, .

则

. 所以对

这表明

,

当

, 即b=0时可逆.

时, 有

即

故

5． 设f （x

）在

【答案】令由于

6．

设

. 上可微, 且

, 则

, 因此g （x ）为, 从而可知

g （X ）=0, 即

是有界闭集

,

为

E 的直径. 证明

:存在知, 对

则存在

使使得

则令

得

即

由于E 为闭集. 从而

证明:在

上f （x ）=0. .

上的单调递减函数, 所以

.

而

【答案】由

均为有界闭集E 中的点列, 从而有收敛子列

二、解答题

7． 求

【答案】