2017年华东师范大学理工学院数学系817高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
且证明秩的代数余子式
故在行列式②中满足
即主对角严格占优.
即秩
从而秩
2． 设T 是n 维欧氏空间V 的正交变换，又
证明：
是V 的子空间且
且
也是V 的正交变换. 于是对
故
从而
则对任意
有
故于是由
知，
从而
. 因此又有
从而有
反之，若
【答案】与是子空间显然.
由于T 是有限维欧氏空间V 的正交变换，故T 有逆变换任意
有
其次，
考虑
为
实矩阵，已知
【答案】把所有各列都加到第一列上去，并注意到①式，那么
3． 若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同，试证
【答案】设
则
于是
4． 设
是n 维欧氏空间V 中一组向量，而
证明：当且仅当【答案】设
时，
则
线性无关.
是一个m 元二次型.
线性无关的充分必要条件是对任意不全为0的
都有
即有
故是正定矩阵，当然反之，设若有则有
亦即
由于
此方程组只有零解，即有
故
线性无关.
5． 求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基和维数. 设
（1）
（2）
（3）【答案】（1）或存在
使
属于
当且仅当存在
使得
我们要找出使上面向量方程有解的全部
向量.
按题设的
它们就是的全部
将上述方程按各个分量写出来就是下述齐次线性方程组
-1）4, 3, -1）.
于是, 全部解是x 可求得基础解系只有一个解（-1, 4, 3，（-1，的全部向量是
（5，-2，-3，-4）是它的基，它是一维的. （2）与（1）题同样方法，知有解的全部向量
的全部向量
是使得下列方程
将上述向量方程按分量写出来就是齐次线性方程组
该方程组只有零解.
故子空间（3）
有解的全部向量
的全部向量
没有基.
是使方程
将上述方程按各分量写出来，得
可求得它的全部解x （-3，1, 2，1, 0）. 故交子空间的全部向量是是一维的，
是基.
它
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