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一、选择题

1． 设

是非齐次线性方程组

的两个不同解，

是

的基础解系，

为任意常数，

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于

因此

线性无关，且都是

知

的解. 是

的特解，因此选B.

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

故是的基础解系. 又由

2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

分别为A ，B 的伴随矩阵，

.

则

也不是线性变换，

比如给

3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

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所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

4． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选

从而否定A ,

若选

中选三个向量组

从而否定C ,

故选B.

5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

的伴随矩阵为（ ）.

则分块矩

且

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，

所以

二、分析计算题

6． 证明：如果

【答案】

故

7． A 为二阶实矩阵，求出使

【答案】设

其a , b ，c , d 为实数，由

可得

（1）当b=c=0时，可解得a=d=00.这时A=0. （2）当从而

（3）当

时，类似有

因此A 有3种可能：

其中a 为任意常数，b ，c 为任意非零常数.

8． 设A ，B 是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则

（1）（2）设

的根全为实根. 的根为

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那么

的各种形式的A

时，由②得a+d=0, 即d=-a.这时

且求证：在约束条件下

的最小值和最大值分别为

【答案】（1）由B 正定，A 实对称，存在实可逆矩阵P ，使得