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一、分析计算题

1． 计算n 阶行列式

【答案】

2． 计算

其中

【答案】

3． 在P[x]

中

【答案】

故

4． 设T 是n 维欧氏空间V 的对称变换. 证明：

【答案】设T 是非负对称变换，则

为其任一特征值且

但故

使T 在此基下的矩阵对角矩阵，即有

证明：

又因为T 为对称变换，故存在标准正交基其中若每个则

为T 的全部特征值. 则对

令

因此，T 是非负对称变换.

5． 用正交代换化为标准形.

【答案】4元二次型f 的矩阵（实对称）为

A 的特征多项式

对应1的线性无关的特征向量应-1取特征向量（求

显然令U 是以即得

6． 设数域P 上

特征根为的基础解系）：

的一基础解系）：

对

为正交向量组，再标准化. 得

为列的矩阵，为正交方阵且f 经正交代换

矩阵F 的特征多项式为f （x ）及

从而对数域P 上多项式【答案】F 的特征多项式为由于故

对数域P 上非常数多项式设在复数域上

与故

7． 设角阵.

【答案】由于A 正定，有实可逆阵

为对角阵

对角阵.

8． 证明:多项式

【答案】设

正交，于是

使

有公共根.

当且仅当

有于是

当且仅当

当且仅当它们在复数域上没有公共根.

则当且仅当有某

使

时

方阵A ，B 皆为实对称阵，且A 为正定阵，则有实可逆阵C 使

这时

及同时为对

使

仍为实对称，则有正交阵

令

则

及

同时为

两两互素的充要条件是，存在多项式

两两互素. 下证（用数学归纳法）（19）成立.

成立，即存在

使

当n=2时显然. 假定结论对使