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一、分析计算题

1． 设V 是数域K 上n 维线性空间，

（1）存在I

【答案】（1）因（2

）令

则存在

去，可得线性无关向量组

2． 计算n 阶行列式

，（构成V 的基）且有

使得

使

是V 的真子空间，由上例，存在同样有

，

且

且

•显然

，

（2）存在V 中一组基

是V 的s 个真子空间，证明，

线性无关.

令

线性无关，如此继续下

【答案】解法I 从第n 行开始. 每行都减去上一行，得

再将第n 列加到其余各列，便得一个主对角线上元素为因此

解法II 从第一行开始，每行都减去下一行，得

的上三角形行列式.

再将第一列加到其余各列，便得一个主对角线上元素为因此

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的下三角形行列式.

3． 设K ，F , E都是数域，满足空间E 是有限维的.

【答案】设

是K 上线性空间E 的基. 事实上，

由

是线性空间

的基，可设

由于是

故（6-11）是设

由

是线性空间FE 的基，

则

的基，其中

求交【答案】设当且仅当

即

亦即AX=0，其中对A 施行初等行变换可得

由B 可知，A 秩=4，且但由BX=0可知，其一般解为

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则在通常的运算下，F 和E 都是K 上的线性空间. 假定

作为K 上的线性空间F 是有限维的，作为F 上的线性空间E 是有限维的，求证作为K 上的线性

.

它们的基分别是

下面证明

是线性空间的基，可设

的生成元.

是

的基，

故于是

（6-11）线性无关.

综上所述，（6-11）是线性空间

4． 设

的一基和维数.

为列向量的4x5矩阵. 由于

同解.

是自由未知量. 从而由

（7 ）得

故

是

为一维空间，且

为其一基

.

却

AX=0的解必是5元向量，的一基，但并非AX=0的基础解系（实际上，而

是4元向量）.

5． 计算柯西（Cauchy ）行列式

【答案】将行列式第n 行的-1倍加到其余各行，行提公因子公因子

得

列提

将上式中行列式的第n 列的-1倍加到其他各列，按最后一行展开后，列提公因子

行提公因子

可得

依此递推，结合

得，

6． 欧氏空间V 的线性变换

证明： （1）

为反对称的充分必要条件是，

是反对称线性变换

在一组标准正交基下的矩阵为反对称的；

也是.

于是

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称为反对称的，

如果对任意的

（2）如果的不变子空间，则

【答案】（1）设是V 的一组标准正交基，再设