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一、证明题

1． 设则必是则存在一点

使

取

在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。

在I 上的最大值点，

在

使得

(

不妨设则当

) 。由连续函数的最大最小值定理知

，

而是

时，

的一个极大值点，所以存在

即是

的一个极小值

证明：若是的极大(小) 值点，

【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是

上存在最小值m 。

因为

点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。

2． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集

(1) . (2)

【答案】(1) 对任意的

因此

对于任意正

数

，故

(2) 同理可证.

3． 已知平面区域

(1) (2)

【答案】(1) 方法一由于

所以欲证的等式成立. 方法二由格林公式，有

因为D 关于直线y=x对称，所以左边=右边. (2) 方法一由(1) ，利用平均值不等式得

L 为D 的正向边界. 试证：

. 存

在

即

存在

是A+B的一个上界.

使

得

使得c=a+b, 则设

证明：

于是并

且

于是

，

方法二由(1) 得

二、解答题

4．

求曲面

【答案】由于

所以曲面面积为

5． 将函数

在

上展开成余弦级数.

所以由收敛定理可得在

6． 利用定积分求下列极限：

【答案】⑴

因为

的面积，其中a ，b 是常数满足

【答案】将f (x ) 作周期性偶延拓，得一周期为的连续偶函数

.

上

所以

故

（2）

当

时，

所以

从而

当当

时，

时，

即

所以所以

（3）因为

而

由迫敛性知

7． 一物体在某介质中按移至

【答案】

其中

故

作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由

时克服介质阻力所作的功。