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一、证明题

1． 设

在点

存在，在点

于是有

令

时有

故f (x ，y )

在点

2． 试用定义

(1) 数列(2) 数列收敛于极限a. (1)

取

，则

知，

当n>l时，

不以1为极限. 因此，

数列

是无界的. 设a 是任意一个实数，取

之外，否则

有界. 故数列

则

中有无穷多个项落在

于是，数列

中有无穷多个项落在

之外. 由定义(2) 当n 为偶数时

于是，数列证明： 不以1为极限； 发散.

任给

若在

之外数列

丨中的项至多只有有限个，

则称数列

从而可微.

因

为

在

点即

连续，所以

当

在点

连续，证明f (x ，y ) 在点

其中

可微.

【答案】因为

存在，由一元函数的可微性知

【答案】定义

不收敛于任何一个数，即数列发散.

3． 证明：' 为有界函数.

【答案】

于是，对于

存在M>0, 使得当

时，有时.

. 在[-M, M]上，由连续函数于是，对于一切

故

为有界函数.

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的有界性定理知，存在S>0，使得当

4． 设函数f 在

(1) f 在(2) 若存在【答案】(1) 令

上连续，且内有界；

使得

与为有限值. 证明：

则f 在(a , b ) 内能取到最大值；

(3) f 在(a , b ) 上一致连续.

因为f 在(a , b ) 连续，所以F (x )

在界，即f 在(a , b ) 上有界.

(2) 因为F (x ) 在[a, b]上连续，所以F (x ) 在[a, b]上能取到最大值. 又因为

即

在(a , b ) 内取得，即f (x ) 在

(3) 由(1) 知

5． 设

【答案】因为

所以

6． 设正项级数

【答案】令

，收敛，证明：级数

则

对上式两边取极限得

7． 设

【答案】因为f 为有

又因为

取

不妨设b>0, 则由函数极限的局部保号性知

.

则当

时，

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连续•因此F (x ) 在[a, b]上有界，所以F (x ) 在(a , b ) 上亦有

使

上的最大值可以

所以F (x )

在

内能取到最大值. 上连续，所以F (x )

在

. 证明：

上一致连续. 显然f (x ) 在(a , b ) 上一致连续.

在

：仍收敛，

其中

.

所以级数

证明

收敛到

时的无穷大量，所以对任意的M>0, 存在使得当

在

时.

内

，

故

二、解答题

8． 计算曲面积分围的立体的表面的外侧。

【答案】设

分别为S 的上、下底面和圆柱侧面，则

记

在xOy 平面上的投影区域为

则

在

上，

故

从而曲面积分

9． 求心形线

【答案】

的切线与切点向径之间的夹角.

由半角公式

得

10．求下列函数的导数：

【答案】

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其中S 是曲面及两个平面所

而在yOz 平面上的投影区域

故当时

当时