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一、证明题

1． 设f 为定义在

上的连续函数，a 是任一实数，

证明E 是开集，F 是闭集. 【答案】对任一点存在

的某邻域

故E 为开集. 下证F 是闭集.

设且

2． 证明数列

577216... 称为尤拉常数，且当

所以

收敛，因此有公式

式中

时，.

并利用该公式求极限

【答案】因为

于是有

各式相加得

于是

即所以

下界. 其次

单调递减. 从而数列{xn}收敛，设

即

它的近似值为0.577216，或表示成利用上面的结论知

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因为f

在连续，从而由连续函数的保号性知，

使当

时

即

从而

是F 的任一聚点，则存在F 的异点列在连续，从而

可见

使

故f 为闭集.

由

两式相减得

所以

3． 证明：

若

【答案】补充定义

在

的值如下：

使得

则

在闭区间

上满足罗尔中值定理的条件，于是存在一点

4． 证明下述命题：

(1) 设为(2) 设为要条件为

【答案】(1) 取故(2) 由于在

收敛，从而

上

上的非负连续函数. 若上的连续可微函数，且当收敛.

则由收敛.

均为连续函数，任给

有

设即

收敛，由收敛.

又若由于

的单调性可知，

收敛，

则对任给

存在

从而可知

使得当使

于是令

故有

所以有

5． 证明级

数

【答案】

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在有限开区间内可导，

且

则至少存在一点

使

收敛，则时，

也收敛.

收敛的充

递减地趋于0, 则

收敛，可知

也收敛，而

存在，

时，

有

不变号，故由积分中值定理知，存在

_可知

存在，即收敛. 劼收敛的充要条件是存在某正整数N , 对一

切

收敛.

总

有

收敛的充要条件是:任给正

数

充分性 任给正数当然对

存在正整数N , 对一切总有

从而

的m

有

由柯西准则知级数必要性 若级数特别地，取 6．

(1)

收敛.

收敛，由柯西准则知对任给正数n 存在自然数

则对任意

有

求证：

(2)

使得

当

时，

【答案】(1) 利用拉格朗日中值定理，存在

(2) 设. 所以

则有...

故有

结论得证.

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