2017年东南大学数学系601数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续：
【答案】(1)
由
得
取
由于是
则当
时
知，
对于任给的
在其定义域内连续.
取
则当
于是，f (X ) 在其定义域内连续. (2) f (x ) 的定义域是R ,
任取
时
的定义域是
因为
的图像关于原点对称，所以对于任给
的
限
制
只需对X>0的情形进行证明. 设
.
2． 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
【答案】(1
)
足拉格朗日中值定理的条件，故至少存在一
点
于
是
(2)
值定理的条件，
于是存在
3． 证明:
若函数
在
【答案】设函数
在区间
使得在区间
上连续
，
且
上有最大值M ，最小值m , 不妨设
由闭区间上连续函数的介值定理，可知在
内至少存在一点
使得
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因为
使
得
由
知
所以
因
而
在上满而故
，
令
使得
则
又因
在
故
上满足拉格朗日中
故
则
则对
内至少存在一点
当时
时，
取即可. 则则
4． 用定义证明:(1) 若
(2) 若
【答案】(1) 由知，当时
，有
固定时，有
其中
，
上述
当
时，有
从而
对固定的而言，它是一个确定的常数. 故对
(2) 令
则当
时，
于是
由(1) 知，上式的第二、三项趋向于零. 下证第四项极限也是零. 事实上，由
知，
有界，即存在
使
故
从而(2) 的极限是ab.
5． 证明:
若
在
【答案】对
作分割
上
对
使
于是
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上可积, F
在上连续，且除有限个点外
有
使其包含等式
则
有
不成立的有限个点
为部分分点，在每个小区
间使用拉格朗日中值定理，则分别存
在
因为
在
6． 设
在
上可积，所以令
上有
有阶导数且
及
求证：【答案】将
.
在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开
对
在a 点作同样的展开，有
将上式代入式(1) 可得
比较式(2) 、式(3) ，且有故
7． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。
【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.
取
. 任意
存在则H 是
上连续，则在
有
不妨设
因此
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由微分中值定理
则
上一致连续. 因为在
对任意
的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个
开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为
取
时，由于
对任意
即当