2017年福建师范大学数学与计算机科学学院839数学分析之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 用确界原理证明有限覆盖定理.
【答案】
对闭区间
所以存在一个开区间
间覆盖，从而
若这与
2． 设
，
则
矛盾. 故
即
可被H 中的有限个开区间覆盖.
即
由
覆
盖则
用类似的方法可以证明
证明级数
是收敛的.
【答案】显见级数为正项级数，设级数部分和数列为
即该正项级数的部分和存界，从而原级数收敛.
3． 证明极限
【答案】由(1) 的结果，
对每
存在.
有
令
则
即由
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的任一开覆盖
使得
构造数集如上，
显然有上界.
因为
覆盖闭区间
取
使
得
取加进去可知
使
得
知，存
在
则
能被中有限个开区
非空. 由确界原理知，存在
能被中有限个开区间覆盖，
把
则
有下界，
得存在. 4． 设f 为
使得
严格单调递减，根据单调有界定理，知
收敛，即
存在，故
上二阶可导函数
并存在一点使得
使
证明至少存在一点
由
于是
有
【答案】因f (x ) 在上满足拉格朗日中值定理，故存在得又因
为
在
数列
同理，存
在
上可导，由拉格朗日中值定理知，存
在
使得
5． 若d][a, b]，使
是[a, b]上的连续函数列，且
在[c, d]上一致有界.
都有界. 试证明：存在闭区问[c，
上都非一致有界，即
【答案】用反证法. 假设在任意闭区间
使
因为函数的保号性，
又因为
如此下去，可得一个闭区间列
满足
在
由连续函数的保号性，
在[a, b]上非一致有界，所以对k=l,
使得
有
使且
使得
有
由连续使且
上非一致有界，所以对k=2，
且
由闭区间套定理，无界，则数列
6． 证明下列各式：
【答案】(1) 是
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有其中使
即数列
的某一个子列
无界. 这与已知条件矛盾.
, 由函数极限的局部有界性知，在内有界，于
(2) 由于是
(3)
由(4) 因为
由函数极限的局部有界性知，在内有界，于
知
所以
(5
)
(6)
设于是
即
，于是，在某个则
内
有界，故
故
(7)
设
则
于是
故 7． 设在
为上一致收敛. 【答案】任取一个趋于
的递増数列
(其中
) ，考察级数
由于势
在
且连续，从而
上一致收敛，由(a) 及教材
且在
在
上连续由狄尼定理得级
上一致收敛.
上连续非负函数，
在
上连续，证明
定理19.8推得
二、解答题
8． 计算下列引力：(1)
均匀薄片引力；(2) 均匀柱体
对于点
对于轴上一点
处的单位质量的
处的单位质量的引力；(3) 均匀密
度的正圆锥体(高h , 底半径R ) 对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.
【答案】(1) 设物体密度为U , 由对称性，引力必在Z 轴方向上因此
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